Cómo calcular vectores propios
A veces es necesario encontrar un vector no nulo que, cuando se multiplica por una matriz cuadrada, nos dará una vuelta múltiple del vector. Este vector distinto de cero se denomina un "vector propio." Vectores propios no sólo son de interés para los matemáticos, sino a otros en profesiones como la física y la ingeniería. Para calcularlos, se tendrá que entender álgebra de matrices y determinantes.
Contenido
Cosas que necesitará
- Calculadora
- De introducción de texto de álgebra lineal
Aprender y comprender la definición de un "vector propio." Se encuentra para un n x n matriz cuadrada A y también un valor propio escalar llamado "lambda." Lambda está representado por la letra griega, pero aquí vamos a abreviarlo a L. Si existe un vector no nulo x donde Ax = Lx, este vector x se denomina "valor propio de A."
Encuentra los valores propios de la matriz mediante el uso de la característica det ecuación (A - LI) = 0. "Det" significa el determinante, y "I" es la matriz identidad.
Calcular el vector propio para cada valor propio mediante la búsqueda de un espacio característico E (L), que es el espacio nulo de la ecuación característica. Los vectores no nulos de E (L) son los vectores propios de A. Estos se encuentran enchufando los vectores propios de nuevo en la matriz característica y encontrar una base para A - LI = 0.
Video: Vectores propios y espacios propios de una matriz de 3x3
Práctica los pasos 3 y 4 mediante el estudio de la matriz de la izquierda. Que se muestra es una matriz cuadrada de 2 x 2.
Calcular los valores propios con el uso de la ecuación característica. Det (A - LI) es (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, que es el polinomio característico. La solución de este algebraicamente nos da L1 = 4 y L2 = 2, que son los valores propios de nuestra matriz.
Encontrar el vector propio para L = 4 mediante el cálculo del espacio nulo. Hacer esto mediante la colocación de L1 = 4 en la matriz característica y la búsqueda de la base de A - 4E = 0. La solución de este, encontramos x - y = 0, o bien x = y. Esto tiene sólo una solución independiente, ya que son iguales, tal como x = y = 1. Por lo tanto, v1 = (1,1) es un vector propio que se extiende por el espacio característico de L1 = 4.
Video: Encontrar los vectores propios de una matriz: Ejercicio Resuelto
Video: Diagonalización de matrices. Valores y vectores propios
Repita el paso 6 para encontrar el vector propio para L2 = 2. Nos encontramos x + y = 0, x = o-Y. Esto también tiene una solución independiente, decir x = --1 y y = 1. Por lo tanto v2 = (--1,1) es un vector propio que se extiende por el espacio característico de L2 = 2.